Średnia geometryczna a średnia arytmetyczna w inwestowaniu

Inwestycja na giełdzie to taka prosta rzecz. Najważniejsze by kupować na dołku, a sprzedawać na górce. Jakże to proste, nieprawdaż? To dlaczego nie jesteś taki bogaty? Przecież średnio wszystko idzie w górę... ;)

Brak odróżnienia średniej geometrycznej i średniej arytmetycznej może być zgubny dla przeciętnego Kowalskiego, któremu wydaje się jakież to godne podziwu jak ktoś gra na giełdzie, "co grajo na giełdzie to zarabiajo miliony, łooooo". Cóż z tego, że jest taka i taka średnia, skoro ten najmądrzejszy Kowalski rzuca kasą, "bo na giełdzie można tylko zyskać w długim terminie", myśli zwykle kryteriami średniej arytmetycznej. A później przychodzi wujek Kryzys z bratankiem Płaczem ;)

Posiłkując się książką Mathematician Plays The Stock Market - John Allen Paulos, rozważmy w skrócie czym się to różni.

Aby zrozumieć średnią geometryczną w świecie finansów należy poznać wzór na odsetki składane i czym one są. Dla n-zamkniętych inwestycji średnia geometryczna to pierwiastek n-tego stopnia z [(1 + pierwszy-wpływ)(1+drugi-wpływ)...(1+n-ty wpływ)] minus 1. Jest to faktycznie średnia stopa zwrotu z tych n-zamkniętych inwestycji. Trzeba koniecznie pamiętać, że kapitał końcowy jednej inwestycji staje się kapitałem początkowym następnej.

Nieznajomość matematycznej definicji średniej rocznej stopy zwrotu (nieumiejętność odróżnienia średniej geometrycznej i arytmetycznej) prowadzi do mylnej oceny możliwości zwrotu z inwestycji. Przeciętny Kowalski posługuje się prawie zawsze jedyną znaną sobie średnią - średnią arytmetyczną.

Załóżmy, że masz 1000zł do zainwestowania.
Niech cena połowy Twych akcji będzie rosła o 80%, a połowa spadała o 60% w ciągu każdego tygodnia. Załóżmy, że kupujesz na początku, a sprzedajesz pod koniec tygodnia wszystkie akcje, zatem:
1) wg średniej arytmetycznej
- zyskujesz średnio 10% tygodniowo, tj. (0,8-0,6)/2
- po roku masz ok. 1mln 400tyś zł. i jesteś bogaty. Gratulacje?
2) wg średniej geometrycznej
- tracisz średnio 15% tygodniowo, tj. pierwiastek[(1+0,8)(1+0,6)]-1
- po roku masz ok. 1,95zł i straciłeś prawie wszystko. Jesteś frajer?

Magia? Nie. Matematyka i umiejętność użycia narzędzi matematycznych. Nic dziwnego, że nie ma nagrody Nobla z dziedziny matematyki skoro sama w sobie nic nie daje, a samą znajomość wzorów "można sobie wsadzić" ;)

Średnia geometryczna okazuje się tu wartością środkową i jednocześnie najbardziej prawdopodobną wartością po serii zysków/strat, najczęściej występującym zyskiem końcowym. Nie możemy wykluczyć, że komuś się uda uzyskać wartość bliską 1400000 zł jednak bardziej prawdopodobne, że będzie to bliskie 1,95zł.

To tylko niezbyt dokładny przykład jak ważne jest w życiu zdobywanie wiedzy na tematy, z którymi planuje się człowiek bliżej związać. Informacją jest to, co zmniejsza nieokreśloność. Posiadając więcej informacji, będziesz działać sprawniej. Czy to negocjacje, czy to życie codzienne, a może inwestycje. Informacja to najcenniejszy na świecie towar, ale o tym już innym razem.